🔊 Figure di Chladni
Sabbia su una piastra che vibra: la figura segue la frequenza
Descrizione
Nel 1787 Ernst Chladni sparse della sabbia su una lastra metallica e la fece vibrare con un archetto: la sabbia fuggì dalle zone che si muovono di più e si raccolse lungo le linee nodali, quelle che restano ferme. Questa mini app riproduce l’esperimento su una piastra quadrata di 24 cm con i bordi liberi.
Cosa puoi fare
- Scorrere la frequenza da 50 Hz a 1 MHz, in scala logaritmica, con le tacche delle risonanze
- Saltare da una risonanza all’altra con i pulsanti ‹ e ›, oppure scorrendo il dito sulla piastra
- Auto-sweep: la piastra passa da sola di risonanza in risonanza
- Ascoltare il tono alla frequenza scelta (muto sopra i 20 kHz, dove è ultrasuono)
- Cambiare la sabbia da 1.000 a 1.000.000 di granelli, con lo slider o con − e +
- Scegliere la combinazione dei modi degeneri (somma o differenza)
La fisica
Per una piastra sottile quadrata con i bordi liberi, le forme modali sono approssimate da
w(x, y) = cos(mπx)·cos(nπy) ± cos(nπx)·cos(mπy)
e le frequenze crescono come m² + n², tarate in modo che il primo modo, (1,1), cada a 167 Hz. I modi (m,n) e (n,m) hanno la stessa frequenza: la piastra vibra in una loro combinazione, simmetrica o antisimmetrica.
Fuori risonanza la risposta è una sovrapposizione dei modi vicini, pesati da una curva di risonanza lorentziana: a metà strada tra due risonanze la figura è un miscuglio e la sabbia si muove poco, come su una piastra vera.
I granelli
Ogni granello scende lungo il gradiente di w², cioè verso i minimi di |w|, fa un saltello proporzionale all’ampiezza locale e riceve un po’ di rumore. Una repulsione a campo medio, calcolata sulla densità, impedisce che migliaia di granelli si ammucchino nello stesso punto.
Semplificazioni dichiarate
- Piastra sottile di Kirchhoff, omogenea; le forme modali sono approssimate
- Lo smorzamento non è simulato: la larghezza delle risonanze è scelta a mano
- I granelli non si urtano uno a uno e non cadono dal bordo
- Con centinaia di migliaia di granelli se ne aggiorna ogni volta solo una parte: la sabbia si assesta più lentamente
- Oltre qualche decina di kHz il modello di piastra sottile non vale più: lì la simulazione è un esercizio matematico
- Le frequenze in Hz sono indicative
Link Utili
Prova le Figure di Chladni sul desktop virtuale aprendo l’icona 🔊 dal gruppo Mini Apps, oppure apri direttamente la finestra.