🔔 Nodi armonici
Le figure di Chladni, ma su una sfera, un toro e una superficie con due buchi
Descrizione
Nelle figure di Chladni la sabbia si raccoglie sulle linee che non vibrano. Qui la piastra è una superficie curva: la sabbia scende verso le linee nodali delle autofunzioni del Laplaciano, e scorrendo l’autovalore il disegno cambia, esattamente come scorrendo la frequenza.
Le tre superfici
- Sfera: armoniche sferiche reali Ylm, con λ = l(l+1). Ogni livello ha 2l+1 modi degeneri: scegli m e mescola un modo con il successivo
- Toro (piatto): cos e sin di (mu + nv), con λ = m² + n². La ciambella 3D è solo la visualizzazione
- Genere 2: una superficie con due buchi. Qui non esiste una formula: gli autovalori e le autofunzioni sono calcolati numericamente sulla mesh, con un metodo agli elementi finiti, in un Worker, la prima volta che scegli la superficie
Il teorema di Courant, verificato sui dati
L’ennesima autofunzione ha al più n domini nodali (le regioni in cui il segno è costante). L’app conta i domini dal campo reale con un flood fill e li confronta con il limite. Per un’autofunzione pura il limite è mostrato; per una miscela di modi non si applica e l’app lo dice.
Nei test del progetto, sulla sfera e sul toro i domini contati coincidono con le formule esatte: l+1 per m = 0 e 2|m|(l−|m|+1) altrimenti per la sfera, 2·mcd(m,n) per il toro.
Cosa puoi fare
- Ruotare la superficie in 3D, oppure guardarla dispiegata
- Scorrere gli autovalori, saltare alla risonanza successiva, lasciare l’auto-sweep
- Cambiare la sabbia da 1.000 a 300.000 granelli
Semplificazioni dichiarate
- La larghezza delle risonanze è scelta a mano e non c’è smorzamento; le frequenze in Hz sono indicative
- I granelli non si urtano uno a uno (repulsione a campo medio) e non cadono dai bordi
- Sul toro i granelli sono uniformi nella metrica piatta, quindi radi sul lato interno della ciambella
- Il genere 2 ha 57 modi e nessuna degenerazione esatta: selettore e mescola restano disattivati
- Con molti granelli la sabbia si assesta lentamente, soprattutto sul genere 2
Link Utili
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