Giovanni Novelli

🌬️ Vento sulla superficie

Il teorema di Poincaré–Hopf si difende da solo

Descrizione

Su una superficie c’è un campo di vento, disegnato come particelle che scorrono. Tu piazzi le singolarità, i punti dove il vento si annulla: sorgenti, pozzi, vortici (indice +1) e selle (indice −1). Il teorema di Poincaré–Hopf dice che la somma di tutti gli indici è fissata dalla superficie:

Σ indici = χ(superficie)

con χ = 2 per la sfera e χ = 0 per il toro.

Cosa succede giocando

Sulla sfera la somma degli indici deve fare 2. Se ne metti di meno o di più, l’app aggiunge da sola le singolarità che la topologia impone, evidenziate come imposte. Sfera vuota: due zeri +1.
Sul toro il campo può non avere nessuno zero. Una sorgente (+1) e una sella (−1) fanno somma 0, e se le sovrapponi si annullano.
“Prova a pettinare”: è il teorema della palla pelosa. L’app tenta di eliminare gli zeri deformando il campo verso un vento uniforme: sulla sfera gli ultimi due ricompaiono sempre, sul toro riesce.

Gli indici sono misurati

L’app non assume l’indice dal tipo di strumento. Gli zeri si cercano nel campo (celle in cui il vettore compie un giro completo, poi il metodo di Newton) e l’indice è il numero di avvolgimento del vettore lungo un piccolo cerchio attorno a ogni zero. Se qualcosa non torna, lo vedi in rosso.

Nei test del progetto, su migliaia di configurazioni casuali la somma misurata è sempre stata 2 sulla sfera e 0 sul toro.

Semplificazioni dichiarate

Solo sfera e toro: per il genere 2 non c’è una costruzione corretta del campo
Il toro è mostrato in vista piana e il suo campo non è metrico
Su sfera, sorgenti, pozzi e vortici usano un nucleo regolarizzato; la sella genera tre zeri +1 all’antipodo
Gli zeri molto vicini tra loro possono sfuggire; in quel caso la ricerca riprova con una griglia più fine
Circa il 3–5% dei tuoi punti, con molte singolarità, risulta “senza zero”: è l’annichilazione reale con una sella vicina
L’abbinamento tra tuo punto e zero è per vicinanza e, con molti punti ravvicinati, l’etichetta può sbagliare

Link Utili

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