⛰️ Il piano che sale
Teoria di Morse: la topologia cambia a scatti, il conteggio no
Descrizione
Prendi una superficie e fai salire un piano orizzontale: dove il piano la taglia disegni una curva di livello. Mentre sale, le curve si deformano con continuità, ma in certi punti, i punti critici, la loro topologia cambia di colpo. È l’idea della teoria di Morse, che lega la forma di una superficie ai punti critici di una funzione su di essa.
Cosa succede ai punti critici
| Punto critico | Cosa cambia nelle curve di livello |
|---|---|
| Minimo | Compare una nuova curva (un cerchietto) |
| Sella | Due curve si fondono, oppure una curva si divide |
| Massimo | Una curva si chiude e scompare |
Alla fine della salita vale sempre
#minimi − #selle + #massimi = χ(superficie)
dove χ è la caratteristica di Eulero: 2 per la sfera, 0 per il toro, −2 per il toro doppio. L’app non lo dichiara, lo misura: i punti critici e il loro indice sono calcolati dalla quota dei vertici della superficie.
Cosa puoi fare
- Scegliere la superficie: sfera, toro, toro doppio (genere 2)
- Far salire il piano con il cursore, saltare al punto critico successivo o precedente, o lasciare l’auto-sweep
- Ruotare la vista, oppure inclinare la superficie rispetto alla gravità: i punti critici si spostano e si ricalcolano
- Seguire il grafo di Reeb animato, che riassume come si uniscono e si dividono le curve di livello
Semplificazioni dichiarate
- Le superfici sono triangolate: sono poliedri e il disegno è in proiezione ortogonale
- Il toro doppio è una superficie implicita lisciata: dopo alcune inclinazioni compaiono coppie di punti critici in più dovute alla discretizzazione. La caratteristica di Eulero resta corretta, ma il disegno può affollarsi
- Le posizioni orizzontali del grafo di Reeb sono una disposizione euristica: hanno senso solo come altezza
Link Utili
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